典型例题2
例4 已知过椭圆
的左顶点（-a，0）的两条相互垂直的弦与椭圆分别相交于点P、Q，则直线PQ具有何特征？ 
[简要步骤]：
（1）显示坐标轴，在x负半轴、y正半轴上分别取点C、D，分别以原点为圆心，点C、D为圆上的点作大圆和小圆，并由此作出椭圆；
（2）测量点C、D的坐标（-a，0）、（0，b），并算得a、b的值；
（3）在椭圆上任取一点P，作点P的动画按钮；
（4）连接CP，并过点C作CP的垂线l。
由于几何画板无法直接作出直线与轨迹（椭圆）的交点，因此需要间接获得交点。我们可以算出交点的横坐标，然后作直线“x=交点的横坐标”，于是便可获得交点。本题中，由
解得
，其中a、b的值已算得，因此只需再测得垂线l的斜率k，便可算出垂线l与椭圆的交点的横坐标。
（5）测量垂线l的斜率，将标签改为k；
（6）计算
的值，绘制点（
，0），过该点作x轴的垂线，并作出该垂线与l的交点Q；
（7）作过点P、Q的直线，如图8.6；
（8）单击动画按钮，观察该直线的特征。
可以看到该直线过定点，可以证明该定点为
。
进一步探索：如果将题目条件改为“已知过椭圆
上任意一点的两条相互垂直的弦与椭圆分别相交于点P、Q”，则直线PQ是否还具有同样的特征？
图6.12
典型例题2
例5 如图6.13，求边长为a的正方形中红色区域的面积。
图6.13
分析：本课件制作的一个难点是为形如“酒杯”的底部区域涂上红颜色。由于是轴对称图形，因此只需考虑右半部分（或左半部分）。一种涂色的方法：可在右半部分的圆弧上任取一点，并作正方形底边的平行线段，线段的另一个端点为平行线与对称轴的交点，然后将该线段变为红色，并作该线段的轨迹。另一种涂色的方法是用“以直代曲”的方法，在圆弧上取若干个点，然后以多边形代替曲边三角形。本课件制作中介绍的是后一种方法。
本题可将“酒杯”底部的左、右半部分分别绕正方形的中心旋转-90°、90°，便可发现红色区域的面积为正方形面积的一半。也可将“酒杯”底部的左、右半部分分别平移，当然也可以将半圆的左、右半部分分别平移或绕正方形的中心旋转，同样也可发现红色区域的面积为正方形面积的一半。因此在本课件制作中，需要考虑如何使这4种不同解法互相独立，互不干扰。
[简要步骤]：
（1）作正方形ABCD及AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，连接EG、FH得交点I；
（2）以点G为圆心，作弧IC，将扇形GIC及弧IC改为红色；
（3）以点F为圆心，作弧IB，10等分弧IB，得等分点I1、I2、…、I9，依次选中点I1I2I3I4 I5I6I7I8I9BEI，作多边形内部，并将此内部及弧IB改为红色，隐藏点I1、I2、…、I9；
（4）以点I为圆心，作弧EF，在弧EF上任取一点J，标识角度EIJ，以点I为旋转中心，将多边形内部及弧IB按标识角度EIJ旋转，得图形①，以EG为对称轴，得与图形①对称的图形②，选中图形①和图形②，分别做两个显示/隐藏按钮，一个用来隐藏对象，一个用来显示对象，记作显示1、隐藏1；
（5）作点J到点F的慢速的运动按钮，以及作点J到点E的运动按钮，单击隐藏1按钮，隐藏点J和弧EF；
（6）以点I为圆心，作弧HE，在弧HE上任取一点K，标识向量EK，将多边形内部及弧IB按标识向量平移，得图形③，以EG为对称轴，得与图形③对称的图形④，选中图形③和图形④，作两个显示/隐藏按钮，记作显示2、隐藏2；
（7）作点K到点H的慢速的运动按钮，以及作点K到点E的运动按钮，隐藏点K和弧HE；
（8）以点I为圆心，作弧FG，在弧FG上任取一点L，标识角度GIL，以点I为旋转中心，将扇形GIC内部及弧IC按标识角度GIL旋转，得图形⑤，以EG为对称轴，得与图形⑤对称的图形⑥，选中图形⑤和图形⑥，作两个显示/隐藏按钮，记作显示3、隐藏3；
（9）作点L到点F的慢速的运动按钮，以及作点L到点G的运动按钮，单击隐藏3按钮，隐藏点L和弧FG；
（10）以点I为圆心，作弧GH，在弧GH上任取一点M，标识向量GM，将扇形GIC内部及弧IC按标识向量平移，得图形⑦，以EG为对称轴，得与图形⑦对称的图形⑧，选中图形⑦和图形⑧，作两个显示/隐藏按钮，记作显示4、隐藏4；
（11）作点M到点H的慢速的运动按钮，以及作点M到点G的运动按钮，隐藏点M和弧GH；
（12）依次选择显示1、隐藏2、运动J→F、运动J→E按钮，作序列按钮，选择依次执行，动作之间暂停1秒；
（13）依次选择显示2、隐藏1运动K→H、运动K→E按钮，作序列按钮，选择依次执行，动作之间暂停1秒；
（14）依次选择显示3、隐藏4、运动L→F、运动L→G按钮，作序列按钮，选择依次执行，动作之间暂停1秒；
（15）依次选择显示4、隐藏3、运动M→H、运动M→G按钮，作序列按钮，选择依次执行，动作之间暂停1秒。分别将这4个序列按钮改为解法一、解法二、解法三和解法四，如图6.14；
（16）隐藏线段EG、FH和点A、B、C、D、E、F、G、H、I，隐藏所有的显示、隐藏按钮和运动按钮。
图6.14
典型例题2
例6 制作可上下移动的弹簧，如图6.15。
图6.15
分析：要制作可上下移动的弹簧，需要利用几何画板先画一个弹簧，然后将所画的弹簧复制到word中，设法变成一幅图片（如gif格式），再复制到几何画板中。
[简要步骤]：
（1）显示坐标轴，其中点A为原点，点B为单位点，在x轴上取两点C、D，连接CD，在线段CD上任取一点E，将点E绕着原点A旋转，得点E￠；
（2）将单位点B绕着原点A分别旋转-150°、-30°、90°，得点X、Y、Z，连接AX、AY、AZ，建立空间坐标系A-xyz；
（3）度量点E的横坐标，将标签改为t，并计算sin(5t)、cos(5t)的值；
（4）作出函数x=sin(5t) 的图像，并作出与x轴的交点F，将点F绕着原点A旋转-150°，得点F￠，隐藏点F和过点F的直线；
（5）作出函数x= cos(5t)的图像，并作出与x轴的交点G，将点G绕着原点A旋转-30°，得点G￠，隐藏点G和过点G的直线，将角度制改为弧度制；
（6）作线段HI、IJ，选中线段HI、IJ，并标识比例，以原点A为缩放中心，将点F￠、G￠按标识比例进行缩放，得点F￠￠、G￠￠，隐藏点F￠、G￠；
（7）依次选中点A、G￠￠，标识向量，按标识向量平移点F￠￠，得点K；依次选中点A、E￠，标识向量，按标识向量平移点K，得点K￠；
（8）选中点K￠、E，作出轨迹，将轨迹改成粗线，如图6.16。
（9）保留弹簧轨迹，其余的对象全部隐藏，弹簧制作成功了。
图6.16
（10）选中弹簧，复制到剪贴板中，然后粘贴到word中，另存为web格式，便可得到弹簧图片（gif文件），然后在word中，插入弹簧图片（gif文件），重新复制到剪贴板中，这样便可粘贴到几何画板中。
有了弹簧图片后，就可制作能上下移动的弹簧了。
（11）任取一点A，向右平移8cm得点B，将点B、A向上平移1cm得点C、D，连接AB、BC、CD、DA，作矩形ABCD内部，并改为红色；
（12）作线段AB的中点E，过点E作AB的垂线l，将点E向下平移1cm（y方向平移-1cm）得点F，连接EF，过点F作AB的平行线，在所作的平行线上直线l的左侧任取一点G，测出点G、F的距离，标识该距离；
（13）作圆H，在圆H上任取一点I，选中点I，分别作快速和慢速的动画按钮；作过点I作l的垂线，垂足为J，将点J向右按标识的距离平移，得点K；
（14）选中点G、K，将剪贴板中的弹簧图片粘贴到以点G、K为相对的两个顶点的矩形中，调整点G和圆的位置，使得弹簧大小适中；
（15）将点J向下平移1cm得点L，连接JL，将点L向右平移0.7cm得点M，将点M向下平移2cm得点N，以直线l为对称轴，得点M、N的对称点M￠、N￠，连接MN、NN￠、N￠M￠、M￠M，作矩形MNN￠M￠内部，并改为红色；
（16）隐藏不需要的点和线，如图6.16。
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